Rafał Byczek & Wojciech Duliński & Jędrzej Hodor

1. Definicje i podstawowe fakty o półalgebrach, algebrach i σ-algebrach, rozbiciach i atomach.

• Opis algebry generowanej przez półalgebrę.

• Opis algebry zbiorów.

• Opis algebry generowanej.

• Twierdzenie o generowaniu śladu.

2. Definicje i podstawowe fakty o klasie monotonicznej i klasie Dynkina.

• Twierdzenie o klasie monotonicznej.

• Twierdzenie Dynkina.

3. Miary, miara skończona, miara σ-skończona, miara zewnętrzna. miara zupełna, przestrzeń z miarą.

• Twierdzenie o własnościach miary.

• Twierdzenie o σ-addytywności miary.

• Twierdzenie o subaddytywności miary zewnętrznej.

• Twierdzenie Caratheodory'ego o mierze zewnętrznej.

• Twierdzenie o generowaniu miary zewnętrznej przez miarę.

• Twierdzenie Caratheodory'ego - Hopfa o rozszerzaniu miary.

4. Definicje i podstawowe fakty o przestrzeniach mierzalnych, funkcjach mierzalnych, funkcjach borelowskich.

5. Funkcje proste.

• Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi.

6. Definicja i podstawowe fakty o całce z funkcji prostej i  całce z funkcji nieujemnej.

• Twierdzenie o poprawności definicji całki.

• Twierdzenie o własnościach całki.

• Twierdzenie o liniowości całki.

7. Klasyczne twierdzenia całkowe.

• Twierdzenie Lebesgue'a o monotonicznym przejściu granicznym.

• Twierdzenie Lebesgue'a dla szeregów.

• Lemat Fatou.

• Twierdzenie Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu granicznym.

8. Przestrzeń funkcji absolutnie całkowalnych, całka z funkcji rzeczywistej, zbiory pełnej miary, równość p.w.

• Twierdzenie o uzupełnianiu miary.

• Twierdzenie o średnich całkowych.

9. Przestrzeń probabilistyczna, transport miary.

• I Lemat Borela - Cantelliego.

• II Lemat Borela - Cantelliego.

• Twierdzenie o transporcie miary i o zanurzaniu zmiennych.

• Twierdzenie Jegorowa.

10. Wypukłość funkcji, warunki równoważne wypukłości, ciągłość funkcji wypukłej.

• Nierówność Jensena.

• Nierówność między ważoną średnią geometryczną i ważoną średnią arytmetyczną.

• Nierówność Höldera.

• Nierówność Minkowskiego.

11. Konstrukcja przestrzeni Lp, istotne supremum i konstrukcja przestrzeni L∞.

• Twierdzenie o poprawności konstrukcji.

• Twierdzenie o zupełności przestrzeni Lp.

• Twierdzenie o zupełności przestrzeni L∞.

12. Mierzalne prostokąty, zbiory elementarne.

• Twierdzenie o mierze produktowej.

• Twierdzenie o gęstości funkcji prostych w przestrzeni Lp.

• Twierdzenie Fubiniego.

• Przykłady pokazujące konieczność pewnych założeń w Twierdzeniu Fubiniego.

13. Miara zespolona.

• Twierdzenie Riesza.

14. Absolutna ciągłość, skupienie miary, wzajemna singularność miar.

• Twierdzenie Lebesgue'a - Radona - Nikodyma.

• Optymalność założeń w Twierdzeniu Lebesgue'a - Radona - Nikodyma.

• Warunkowe oczekiwanie.